giải

ta có AB=AD(gt)và góc A=60 độ nên tam giác DEF đều=>BD=AD

Tương tự tam giác DEF đều =>góc CBD=60độ

Từ BE+BF=BD=>AE=BF

Xét tam giác AED  và tam giác BFD  có:

AD=BD(cmt)

góc A=góc CBD=60 độ

AE=BF

Do đó tam giác AED=tam giác BFD(c,g.c)

=>DE=DF

 nên tam giác DEF cân  (1)

Và góc D1=góc D3 nên góc D1+góc EBD=60độ =>góc D3+góc EBD=60độ     (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác DEF đều.

Ta có ABCD là hình thoi nên \(AD=AB\)

Mà \(\widehat{A}=60^0\) nên ABD đều

Lại có BD là phân giác \(\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=60^0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BE+BF=BD=AB\\AE+BE=AB\end{matrix}\right.\Rightarrow AE=BF\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AE=BF\\AD=BD\\\widehat{DAE}=\widehat{DBF}=60^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta DEA=\Delta DFB\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow DE=DF\)

Do đó DEF cân tại D

Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{BDF}\left(\Delta DEA=\Delta DFB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}+\widehat{EDB}=\widehat{BDF}+\widehat{EDB}\\ \Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{EDF}=60^0\)

Vậy tam giác DEF đều

a) -Có: \(\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{1}{3}\) mà \(AE+EB=AB\) nên \(\dfrac{CF}{DC}=\dfrac{2}{3}\).

\(AB=DC\)(ABCD là hình thoi) \(\Rightarrow\dfrac{CF}{AB}=\dfrac{2}{3}\)

Mà \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{3}\) (gt) nên \(AE=CF\).

Mà EB//DF (ABCD là hình thoi) nên \(AECF\) là hình hình bình.

-Tương tự như vậy, EBFD là hình bình hành.

b) -Có: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{3}\) mà \(AE+EB=AB\) nên \(\dfrac{EB}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{EB}{AE}=\dfrac{1}{2}\).

-Có: \(\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{1}{3}\) mà \(\dfrac{EB}{DC}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{EB}{AB}=\dfrac{1}{3};AB=CD\right)\)

\(\Rightarrow DF=EB\) nên \(\dfrac{DF}{AE}=\dfrac{1}{2}\).

-Xét △AEH có: DF//AE (ABCD là hình thoi).

\(\Rightarrow\dfrac{DF}{AE}=\dfrac{HD}{HA}=\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{1}{2}\) (định lí Ta-let).

c) -Có \(\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{1}{2}\) nên D là trung điểm AH.

\(\Rightarrow AD=DH=CD=\dfrac{1}{2}AH\)

-Xét △ACH có:

CD là trung tuyến ứng với cạnh AH (D là trung điểm AH)

Mà \(CD=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt)

Nên △ACH vuông tại C.

\(\Rightarrow\) HC vuông góc với AC.

-Gọi G là giao điểm của CD và BH.

-Có \(DH=CD\) (cmt) và \(CD=BC\) (ABCD là hình thoi)

Nên \(DH=BC\) mà DH//BC (ABCD là hình thoi).

\(\Rightarrow\) BDHC là hình bình hành.

-Mà  G là giao điểm của CD và BH nên G là trung điểm CD và BH

\(\Rightarrow GD=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{2}.3DF=\dfrac{3}{2}DF\)

\(\Rightarrow DF=\dfrac{2}{3}GD\).

-Xét △HDB có: 

DG là trung tuyến (G là trung điểm BH).

F thuộc DG.

\(DF=\dfrac{2}{3}GD\) (cmt).

Nên F là trọng tâm của tam giác HDB.